Gewöhnliche Differentialgleichungen

1 Einführung (S. 1-2)

Gewöhnliche Di.erentialgleichungen gehören zu den Grundlagen der Mathematikausbildung an jeder Hochschule. Seit dem historischen Beginn der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen durch Galilei, Leibniz und Newton im 17. Jahrhundert gehören besonders Naturwissenschaft und Technik zu den Hauptanwendungsgebieten. Aber auch wirtschaftliche und gesellschaftliche Prozesse werden mit gewöhnlichen Differentialgleichungen modelliert, wobei diese Aufzählung keinen Anspruch auf Vollständigkeit erhebt. Eine Vielzahl von Beispielen findet man unter anderen in den Büchern von Heuser1, Braun2oder Mayberg/Vachenauer. Wir wollen mit unserem Buch einen anschaulichen Überblick überwiegend elementarer Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen und Systeme erster Ordnung geben. Zur graphischen Darstellung von Lösungskurven haben wir die dafür hervorragend geeignete Software Matlab® verwendet. Eine kompakte und vollständige Übersicht von Matlab findet man in den Büchern von Schweizer und Angermann/Beuschel/Rau/Wohlfarth5, letztgenanntes enthält außerdem viele technische Beispiele und Übungsaufgaben.

Wir werden in Kapitel 7 eine beispielbezogene Einführung in Matlab geben. Sie erfahren dort unter anderem, wie wir einige Abbildungen des vorliegenden Buches mit Matlab® erzeugt haben. Sie lernen, wie man mit der Symbolic Math Toolbox algebraische Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen ermitteln kann.

Mit der Kenntnis einiger Grundlagen aus der Analysis und der Linearen Algebra kann jeder Studierende die vorliegende Einführung in das Gebiet der gewöhnlichen Differentialgleichungen verstehen. Unverzichtbar dafür ist allerdings etwas Mühe und Fleiß, auch bei der Lösung der zu jedem Abschnitt passenden Übungsaufgaben.

Uns geht es nicht um spezielle Methoden der numerischen Lösung gewöhnlicher Di.erentialgleichungen, die bei zunehmender Komplexität zugehöriger mathematischer Modelle eine immer größere Rolle spielen. Wir verweisen hierfür auf die Bücher von Hermann, Dahmen/ Reusken und Bollhöfer/Mehrmann. Das bereits genannte Buch von Angermann/Beuschel/ Rau/Wohlfarth erläutert ausführlich die Anwendung in Matlab® enthaltener numerischer Lösungsalgorithmen für verschiedene Typen von Anfangs- und Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen. Eine Übersicht dazu liefert das ebenfalls schon genannte Buch von Schweizer.

Nach den folgenden Bemerkungen und Beispielen in diesem Kapitel werden wir mehrmals einen Anwendungsbezug herstellen:

Was hat das Wort „Resonanz" bei Lösungen einer Klasse von Differentialgleichungen mit der Eigenschaft „Resonanz" von Schwingungen zu tun?

Bevor wir diese Frage beantworten, beschäftigen wir uns in Kapitel 4.5 ausführlich mit der Schwingungsdifferentialgleichung, die gleichermaßen freie mechanische Schwingungen und elektrische Schwingkreise beschreibt.

Warum sind Wetterprognosen teilweise ungenau? Wir wollen am Schluss von Kapitel 6 durch einen Ausblick auf die besonderen Eigenschaften eines nichtlinearen Differentialgleichungssystems die Behauptung verstehen, wie sie Lorenz 1963 aufgestellt hat:

„Der Flügelschlag eines Schmetterlings im Amazonas-Urwald kann einen Orkan in Europa auslösen."

„Edward N. Lorenz beobachtete, dass kleinste Varianten in seinen Anfangsdaten der Variablen in seinem einfachen Wettermodell, das er etwa 1960 auf einem Computer simulierte, stark abweichende Ergebnisse der Wetterprognosen hervorrufen. Diese empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen wurde bekannt als so genannter Schmetterlingseffekt."

Eine Analyse des Verhaltens der Lösungen von Differentialgleichungen in Form von sogenannten Phasenporträts spielen auch für nichtlineare Schwinger (z. B. des Van-der-Pol-Schwingers) und für nichtlineare Regelkreise eine Rolle, siehe 10.

Über eine moderne numerische Realisierung aktueller Anwendungsbeispiele informiert das Buch von Huckle/Schneider.

1.1 Beispiele zur Modellbildung

„Wie ist es möglich, dass die Mathematik, letztendlich doch ein Produkt menschlichen Denkens, unabhängig von der Erfahrung, den wirklichen Gegebenheiten so wunderbar entspricht?" Wir können hier keinesfalls auch nur ansatzweise eine Antwort auf diese Frage von Einstein geben, sondern wollen jetzt bei den aller einfachsten historischen Modellen der Anwendung gewöhnlicher Differentialgleichungen beginnen.