Philosophie der Mathematik

von: Thomas Bedürftig, Roman Murawski

Walter de Gruyter GmbH & Co.KG, 2012

ISBN: 9783110264630

Sprache: Deutsch

412 Seiten, Download: 2533 KB

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Philosophie der Mathematik

	Vorwort zur 2. Auflage??????????????????????????????????????????????????????????	7
	Vorwort zur 1. Auflage??????????????????????????????????????????????????????????	9
	Einleitung??????????????????????????????????	15
	1 Auf dem Weg zu den reellen Zahlen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	21
	1.1 Irrationalität??????????????????????????????????????????????????	21
	1.2 Inkommensurabilität????????????????????????????????????????????????????????????	24
	1.3 Rechnen mit ?2?	28
	1.4 Näherungsverfahren, Intervallschachtelungen und Vollständigkeit????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	29
	1.5 Zur Konstruktion der reellen Zahlen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	35
	1.6 Über den Umgang mit dem Unendlichen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	37
	1.7 Unendliche nicht periodische Dezimalbrüche??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	39
	2 Aus der Geschichte der Philosophie und Mathematik????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	42
	2.1 Pythagoras und die Pythagoreer??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	44
	2.2 Platon??????????????????????????????????	47
	2.3 Aristoteles????????????????????????????????????????????	50
	2.4 Euklid??????????????????????????????????	54
	2.5 Proklos????????????????????????????????????	56
	2.6 Nikolaus von Kues????????????????????????????????????????????????????????	58
	2.7 Descartes????????????????????????????????????????	61
	2.8 Pascal??????????????????????????????????	65
	2.9 Leibniz????????????????????????????????????	67
	2.10 Kant????????????????????????????????	70
	2.11 Mill und empiristische Konzeptionen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	75
	2.12 Bolzano??????????????????????????????????????	79
	2.13 Gauß????????????????????????????????	82
	2.14 Cantor????????????????????????????????????	83
	2.15 Dedekind????????????????????????????????????????	88
	2.16 Poincaré????????????????????????????????????????	92
	2.17 Logizismus????????????????????????????????????????????	97
	2.18 Intuitionismus????????????????????????????????????????????????????	106
	2.19 Konstruktivismus????????????????????????????????????????????????????????	117
	2.20 Formalismus??????????????????????????????????????????????	119
	2.21 Philosophie der Mathematik von 1931 bis in die 1950er Jahre??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	127
	2.22 Der evolutionäre Standpunkt - eine neue philosophische Grundposition????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	133
	2.23 Philosophie der Mathematik nach 1960????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	140
	2.23.1 Quasi-empirische Konzeptionen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	142
	2.23.2 Realismus und Antirealismus??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	150
	3 Über Grundfragen der Philosophie der Mathematik????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	153
	3.1 Zum Zahlbegriff????????????????????????????????????????????????????	153
	3.1.1 Überblick über einige Ansichten????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	154
	3.1.2 Resümee????????????????????????????????????????	155
	3.2 Unendlichkeiten????????????????????????????????????????????????????	160
	3.2.1 Über die Problematik des Unendlichen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	160
	3.2.2 Die Auffassung des Aristoteles??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	163
	3.2.3 Die idealistische Auffassung??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	164
	3.2.4 Der empiristische Standpunkt??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	165
	3.2.5 Unendlichkeit bei Kant??????????????????????????????????????????????????????????????????????	166
	3.2.6 Die intuitionistische Unendlichkeit????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	168
	3.2.7 Die logizistische Hypothese des Unendlichen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	168
	3.2.8 Unendlichkeit und die neuere Philosophie der Mathematik .. .??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	169
	3.2.9 Formalistische Haltung und heutige Tendenzen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	170
	3.3 Das Kontinuum und das unendlich Kleine??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	171
	3.3.1 Das allgemeine Problem??????????????????????????????????????????????????????????????????????	172
	3.3.2 Aus der Geschichte des Kontinuums????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	174
	3.3.3 Was ist ein Punkt???????????????????????????????????????????????????????????????	186
	3.3.4 Aus der Geschichte des Kontinuums – Fortsetzung????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	191
	3.3.5 Eine Übersicht über Auffassungen des Kontinuums????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	195
	3.3.6 Notizen zur Arithmetisierung des Kontinuums????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	198
	3.3.7 Das Ende der Infinitesimalien und ihre Wiederentdeckung????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	200
	3.3.8 Nichtstandardzahlen und das Kontinuum????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	206
	3.3.9 Folgen für die Auffassung des Kontinuums??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	210
	3.3.10 Das Verschwinden der Größen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	216
	3.3.11 Abschließende Bemerkungen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	223
	3.4 Zum Problem der Anwendbarkeit der Mathematik??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	227
	3.4.1 Aspekte des Problems??????????????????????????????????????????????????????????????????	227
	3.4.2 Das Problem der Anwendung in historischen Auffassungen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	232
	3.4.3 Die klassischen Positionen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	238
	3.4.4 Neuere Konzeptionen????????????????????????????????????????????????????????????????	241
	3.4.5 Rückblick????????????????????????????????????????????	242
	3.5 Schluss????????????????????????????????????	246
	3.5.1 Von den natürlichen zu den rationalen Zahlen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	248
	3.5.2 Inkommensurabilität und Irrationalität??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	249
	3.5.3 Adjunktion??????????????????????????????????????????????	251
	3.5.4 Das lineare Kontinuum????????????????????????????????????????????????????????????????????	251
	3.5.5 Das unendlich Kleine??????????????????????????????????????????????????????????????????	252
	3.5.6 Konstruktion, Unendlichkeit, unendliche nicht periodische Dezimalbrüche????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	254
	3.5.7 Schlussbemerkung??????????????????????????????????????????????????????????	255
	4 Mengen und Mengenlehren????????????????????????????????????????????????????????????????	257
	4.1 Paradoxien des Unendlichen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????	258
	4.2 Über den Begriff der Menge??????????????????????????????????????????????????????????????????????????	260
	4.2.1 Mengen und das Universalienproblem??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	261
	4.3 Zwei Mengenlehren????????????????????????????????????????????????????????	264
	4.3.1 Die Mengenlehre nach Zermelo und Fraenkel????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	266
	4.3.2 Die Mengenlehre nach von Neumann, Bernays und Gödel????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	274
	4.3.3 Anmerkungen????????????????????????????????????????????????	280
	4.3.4 Über Modifikationen????????????????????????????????????????????????????????????????	282
	4.4 Auswahlaxiom und Kontinuumshypothese??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	283
	4.4.1 Suche nach neuen Axiomen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????	289
	4.4.2 Weitere Bemerkungen und Fragen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	294
	4.5 Schluss????????????????????????????????????	295
	5 Axiomatik und Logik????????????????????????????????????????????????????????	300
	5.1 Einige Elemente der mathematischen Logik??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	301
	5.1.1 Syntax??????????????????????????????????????	301
	5.1.2 Semantik??????????????????????????????????????????	304
	5.1.3 Kalkül??????????????????????????????????????	307
	5.2 Bemerkungen zur Geschichte??????????????????????????????????????????????????????????????????????????	309
	5.2.1 Aus der Geschichte der Logik??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	310
	5.2.2 Zur Geschichte der Axiomatik??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	318
	5.3 Logische Axiomatik und Theorien????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	324
	5.3.1 Peano-Arithmetik??????????????????????????????????????????????????????????	326
	5.3.2 Eine Axiomatik für die reellen Zahlen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	327
	5.4 Über die Arithmetik der natürlichen Zahlen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	329
	5.4.1 Zum syntaktischen Aspekt??????????????????????????????????????????????????????????????????????????	330
	5.4.2 Zum semantischen Aspekt????????????????????????????????????????????????????????????????????????	333
	5.5 Wahrheit und Beweisbarkeit??????????????????????????????????????????????????????????????????????????	337
	5.5.1 Formale Wahrheit??????????????????????????????????????????????????????????	338
	5.5.2 Vollständigkeit und Wahrheit??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	339
	5.5.3 Syntaktische Reduktion der Wahrheit????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	342
	5.5.4 Wahrheit ungleich Beweisbarkeit????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	344
	5.5.5 Suche nach Auswegen????????????????????????????????????????????????????????????????	346
	5.5.6 Schlussbemerkung??????????????????????????????????????????????????????????	348
	5.6 Schlussfolgerungen??????????????????????????????????????????????????????????	349
	5.6.1 Schluss????????????????????????????????????????	350
	6 Rückblick????????????????????????????????????	353
	6.1 Setzung der reellen Zahlen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????	354
	6.2 Axiomatische Methode??????????????????????????????????????????????????????????????	356
	6.3 Zahlbegriff????????????????????????????????????????????	357
	6.4 Unendlichkeit, Auswahlaxiom und Kontinuumshypothese????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	357
	6.5 Das unendlich Kleine und das Kontinuum??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	359
	6.6 Anwendbarkeit????????????????????????????????????????????????	360
	6.7 Theoretische Grenzen??????????????????????????????????????????????????????????????	361
	6.8 Computereinsatz????????????????????????????????????????????????????	362
	6.9 Was ist Philosophie der Mathematik und wozu dient sie???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????	363
	6.10 Evidenz und Transzendenz????????????????????????????????????????????????????????????????????????	365
	Kurzbiographien????????????????????????????????????????????	368
	Literaturverzeichnis??????????????????????????????????????????????????????	382
	Personenverzeichnis????????????????????????????????????????????????????	396
	Symbolverzeichnis????????????????????????????????????????????????	401
	Begriffsverzeichnis????????????????????????????????????????????????????	403

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